Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-2x-1|，若a＞b＞1且f（a）=f（b），則ab-a-b的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．設(shè)a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），根據(jù)ab-a-b=2sin2θ-1，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得ab-a-b的范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖：

可得f（x）=|x²-2x-1|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
且f（1-$\sqrt{2}$）=f（1+$\sqrt{2}$）=0，
f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
設(shè)a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
則ab-a-b=（a-1）（b-1）-1=2sin2θ-1，
由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ-1∈（-1，1），即ab-a-b∈（-1，1），
即：-1＜ab-a-b＜1．
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分析問題的能力，計(jì)算能力，討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．