Question

2．設(shè)方程$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{n}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
（1）若橢圓的焦距為1，離心率為$\frac{1}{2}$，求橢圓的方程；
（2）設(shè)m+n=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F₂P交y軸與點(diǎn)Q，并且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，證明：當(dāng)m，n變化時，點(diǎn)P在某定直線上．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓焦距為1可得$2\sqrt{m-n}=1$，利用e=$\frac{1}{2}$可得$\frac{\sqrt{m-n}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn)，可得PF₂的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）解：由題意可知m＞n＞0，
∵橢圓焦距為1，∴$2\sqrt{m-n}=1$，
又∵e=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{\sqrt{m-n}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=1，n=$\frac{3}{4}$，
∴橢圓方程為：${x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn)，則$\frac{{{x_0}^2}}{m}+\frac{{{y^2}_0}}{n}=1$，
∵F₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，∴F₁（-$\sqrt{m-n}$，0）、F₂（$\sqrt{m-n}$，0），
∴PF₂的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{m-n}}$（x-$\sqrt{m-n}$），
∵直線F₂P交y軸于點(diǎn)Q，∴Q（0，$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₀+$\sqrt{m-n}$，y₀）•（$\sqrt{m-n}$，$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$）
=x₀$\sqrt{m-n}$+m-n+y₀•$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$=0，
∴x₀+$\sqrt{m-n}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$=0，即m-n-${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=0，
又∵$\frac{{{x_0}^2}}{m}+\frac{{{y^2}_0}}{n}=1$與m+n=1，
聯(lián)立可解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1-n}\\{{y}_{0}=n}\end{array}\right.$，∴x₀+y₀=1，
故P點(diǎn)在定直線x+y=1上．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓的方程、點(diǎn)在定直線上，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．