Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 依題意，可得a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），繼而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵a₁=2，且a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
即$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1（n≥2），
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）×1=n，
∴a_n-1=$\frac{1}{n}$，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．