Question

11．已知命題p：“?x∈[-2，-1]，x²-2x-a≥0”，命題q：“?x∈（2，4），x²-2x-a=0”
（1）若p為真，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）若q為真，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）若“p∨q”為真，而“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=x²-2x-a，通過判斷f（x）在[-2，-1]上的單調(diào)性求該函數(shù)在[-2，-1]上的最小值f（-1）=3-a，所以只需3-a≥0，這便求出p為真時(shí)的實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）容易判斷f（x）在（2，4）上單調(diào)遞增，所以q為真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$，這樣即可求出a的范圍；
（3）容易判斷出p，q一真一假，所以求出p真q假，p假q真這兩種情況下a的范圍再求并集即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x²-2x-a；
（1）f（x）的對(duì)稱軸為x=1；
∴該函數(shù)在[-2，-1]上單調(diào)遞減；
∴x=-1時(shí)，f（x）在該區(qū)間上取最小值3-a；
∴若命題p為真，則3-a≥0，a≤3；
∴若p為真，實(shí)數(shù)a的范圍為（-∞，3]；
（2）函數(shù)f（x）在（2，4）上單調(diào)遞增；
∴若使f（x）=0在該區(qū)間上有解，則：
$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-a＜0}\\{f（4）=8-a＞0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜8；
∴若q為真，實(shí)數(shù)a的范圍為（0，8）；
（3）p∨q為真，p∧q為假；
∴p，q中一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{a≤0，或a≥8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{0＜a＜8}\end{array}\right.$；
∴解得a≤0，或3＜a＜8；
∴此時(shí)實(shí)數(shù)a的范圍為（-∞，0]∪（3，8）．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值，單調(diào)函數(shù)在開區(qū)間上存在零點(diǎn)的充要條件，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．