Question

3．函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$-$\frac{{x}^{2016}}{2016}$在區(qū)間[-2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴-x²⁰¹⁵，分類討論以確定f（x）的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值的正負(fù)，從而利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理判斷即可．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$-$\frac{{x}^{2016}}{2016}$，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴-x²⁰¹⁵，
當(dāng)x=-1時(shí)，f′（x）=2016＞0，
當(dāng)x≠-1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-{x}^{2016}}{1+x}$，
故當(dāng)-2＜x＜-1或-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，
又∵f（-2）＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，
∴f（x）在（-2，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用．