Question

11．某公司欲制作容積為16米³，高為1米的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米1000元，側(cè)面造價是每平方米500元，記該容器底面一邊的長為x米，容器的總造價為y元．
（1）試用x表示y；
（2）求y的最小值及此時該容器的底面邊長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)長方體容器的長為xm，寬為zm；從而可得xz=16，從而寫出該容器的造價為y=1000xz+500（x+x+z+z）；
（2）利用基本不等式，可得x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$，即可得到所求的最值和對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）由容器底面一邊的長為x米，設(shè)寬為zm，
則x•z•1=16，即xz=16，即z=$\frac{16}{x}$，
則該容器的造價y=1000xz+500（x+x+z+z）
=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+$\frac{16}{x}$），x＞0；
（2）由16000+1000（x+$\frac{16}{x}$）
≥16000+1000×2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$
=16000+8000=24000．
（當且僅當x=z=4時，等號成立）
故該容器的最低總價是24000元，
此時該容器的底面邊長為4m．

點評 本題考查了基本不等式在實際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模思想的運用，屬于中檔題．