Question

8．從某企業(yè)的一種產品中抽取40件產品，測量其某項質量指標，測量結果的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求這40件樣本該項質量指標的平均數$\overline{x}$；
（Ⅱ）從180（含180）以上的樣本中隨機抽取2件，記質量指標在[185，190]的件數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻率分布直方圖，計算數據的平均值是各小矩形底邊中點與對應的頻率乘積的和；
（Ⅱ）首先分別求質量指標在[180，185]的件數：0.020×5×40=4，質量指標在[185，190]的件數有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2時的概率，進而求出X的分布列及數學期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，這40件樣本該項質量指標的平均數$\overline{x}$=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，質量指標在[180，185]的件數：0.020×5×40=4，質量指標在[185，190]的件數有：0.010×5×40=2，∴X的可能值為：0，1，2；
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
所以分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

數學期望E（X）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖的應用問題，考查了分布列以及數學期望，解答此題的關鍵是要熟練掌握利用頻率分布直方圖，計算數據的平均值的方法．