Question

19．如圖所示，設(shè)F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A、B分別為其左頂點與上頂點，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，原點到過點A、B的直線的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F₂的直線l交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN分別與直線x=4交于點P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與右焦點F₂的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$，化為bx-ay+ab=0．可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{7{a}^{2}^{2}=12（{a}^{2}+^{2}）}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過右焦點F₂．下面給出證明．設(shè)直線l的方程為：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（3m²+4）y²+6my-9=0，
由直線AM的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，可得P$（4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$．同理可得：Q$（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．由于$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=$（3，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$（3，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$，利用數(shù)量積運算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{{F}_{2}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=0，即可得出．

解答 解：（1）直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$，化為bx-ay+ab=0．∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，化為7a²b²=12（a²+b²）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{7{a}^{2}^{2}=12（{a}^{2}+^{2}）}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過右焦點F₂．下面給出證明．
F₂（1，0）．
設(shè)直線l的方程為：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
直線AM的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，∴P$（4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$．
直線AN的方程為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}（x+2）$，∴Q$（4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=$（3，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$（3，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$9+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+3）（m{y}_{2}+3）}$
=9+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$
=9+$\frac{\frac{-36×9}{3{m}^{2}+4}}{\frac{-9{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+\frac{-18{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+9}$
=9-$\frac{36×9}{36}$
=0．
∴$\overrightarrow{{F}_{2}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$．
∴以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過右焦點F₂．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．