Question

10．某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當(dāng)k≥2時，$\left\{\begin{array}{l}{x_k}={x_{k-1}}+1-5[{T（{\frac{k-1}{5}}）-T（{\frac{k-2}{5}}）}]\\{y_k}={y_{k-1}}+T（{\frac{k-1}{5}}）-T（{\frac{k-2}{5}}）\end{array}\right.$T（a）表示非負(fù)實數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第2011棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為（1，403）．

Answer 1

分析 通過分析找出規(guī)律：x_n的重復(fù)規(guī)律是：x_5（n-1）+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5，n∈N^*；y_n的重復(fù)規(guī)律是：y_5（n-1）+k=n，0≤k＜5；進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)k=2，3，4，5，…時，
$T（\frac{k-1}{5}）$-$T（\frac{k-2}{5}）$組成的數(shù)列為0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
一一代入計算得數(shù)列x_n為1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即x_n的重復(fù)規(guī)律是：x_5（n-1）+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5，n∈N^*．
一一代入計算得數(shù)列{y_n}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即y_n的重復(fù)規(guī)律是：y_5（n-1）+k=n，0≤k＜5．
∵2011=5×（403-1）+1，
∴第2011棵樹種植點的坐標(biāo)應(yīng)為（1，403），
故答案為：（1，403）．

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意創(chuàng)新題的靈活運(yùn)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．