Question

15．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是線段BC的中點．
（1）求證：PE⊥AD；
（2）求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值；
（3）在線段PD上是否存在一點F，使得CF∥平面PAE，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，利用向量法即可證明PE⊥AD；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值；
（3）根據線面平行的判定定理，結合向量法進行求解即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E為邊BC的中點，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立坐標系如圖，設AB=2，
則B（$\sqrt{3}$，-1，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）…．（1分）
（1）$\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）…（2分）
$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{AD}$=0…（3分）
∴PE⊥AD…（4分）
（2）設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），
∴（x，y，z）•（$\sqrt{3}$，1，-1）=$\sqrt{3}$x+y-z=0，（x，y，z）•（0，2，-1）=2y-z=0，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=2$\sqrt{3}$，得平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
又AD⊥平面PAE，則$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）是面PAE的一個法向量，
設平面PAE與平面PCD所成角為α，
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{16}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$…（8分）
（3）假設線段PD存在一點F，使直線CF∥平面PAE，則CF⊥面PAD，
∴CF⊥AD，
設$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PD}$=（0，2λ，-λ），（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1），
則$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1）•（0，2，0）=4λ-2=0，
解得，λ=$\frac{1}{2}$，
∴當F為線段PD的中點時，直線CF∥平面PAE…（12分）

點評 本題主要考查空間直線垂直，線面平行的判定以及二面角的求解，建立坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．