Question

13．若對任意非負實數(shù)x都有$（{x-m}）•{e^{-x}}-\sqrt{x}＜0$，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． $（-∞，-\frac{1}{e}）$
• D． $（-\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 由題意可得m＞x-e^x•$\sqrt{x}$，令f（x）=x-e^x•$\sqrt{x}$，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最大值，進而得到m的范圍．

解答 解：對任意非負實數(shù)x都有（x-m）e^-x-$\sqrt{x}$＜0，
即為x-m＜e^x•$\sqrt{x}$，
即有m＞x-e^x•$\sqrt{x}$，
令f（x）=x-e^x•$\sqrt{x}$，
f′（x）=1-e^x•（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）
由x＞0可得e^x＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
則e^x•（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
即f′（x）＜0，即有f（x）在[0，+∞）遞減，
則f（x）的最大值為f（0）=0，
則有m＞0，
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．