Question

1．若實數(shù)（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，則當$\frac{2a+b}{8}$的最小值為m，函數(shù)f（x）=e^-mx|lnx|-1的零點個數(shù)為1．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值可得m值，問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特點可得．

解答 解：∵實數(shù)（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，
∴$\frac{2a+b}{8}$=$\frac{1}{8}$（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）
=$\frac{1}{8}$（4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{8}$（4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=1，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{4a}$即a=2且b=4時，$\frac{2a+b}{8}$的最小值m=1，
故函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)e^-x|lnx|-1=0的根的個數(shù)，
即|lnx|=e^x根的個數(shù)，即函數(shù)y=|lnx|和y=e^x圖象交點的個數(shù)，
由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特點可得兩圖象的交點個數(shù)為1，
故答案為：1．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬中檔題．