Question

6．將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，小球在下落的過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是p，1-p．
（Ⅰ）當p為何值時，小球落入B袋中的概率最大，并求出最大值；
（Ⅱ）在容器的入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球個數(shù)，當p=$\frac{1}{3}$時，求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I）確定事件記“小球落入A袋中”為事件M，“小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件為事件N．得出P（M）=P³+（1-P）³=P³+1-3P+3P²-P³=3（P-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{1}{4}$，利用函數(shù)式子求解即可．
（II）P（M）=（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{1}{27}$$+\frac{8}{27}$=$\frac{1}{3}$．P（N）=1-P（M）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．利用服從ξ～B（4，$\frac{2}{3}$），數(shù)學期望公式即可．

解答 解：（Ⅰ）記“小球落入A袋中”為事件M，“小球落入B袋中”為事件N，則事件M的對立事件為事件N．
而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（M）=P³+（1-P）³=P³+1-3P+3P²-P³=3（P-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{1}{4}$，
∴當P=$\frac{1}{2}$時，P（M）取最小值$\frac{1}{4}$，P（N）取最大值1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當P=$\frac{1}{3}$時，
隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4．且ξ～B（4，$\frac{2}{3}$），
∴E（ξ）=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考察了學生的實際應(yīng)用問題，；離散型的概率求解，重復(fù)試驗的數(shù)學期望公式的運用，屬于中檔題．