Question

18．已知極坐標系的極點與平面直角坐標系的原點重合，極軸與x軸正半軸重合，且長度單位相同，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}$（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
（1）把圓方程化成圓的標準方程并求圓心的極坐標；
（2）設直線l與圓C相交于M，N兩點，求△MON的面積（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦公式化簡$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，求出圓C的標準方程和圓心直角坐標，再求出圓心的極坐標；
（2）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$代入圓的標準方程求出t的值，可得直線l與圓C相交點M，N的坐標，由兩點之間的距離公式求出|MN|，求出直線l的普通方程，由點到直線的距離公式求出原點到直線l的距離，再求出△MON的面積．

解答 解：（1）由題意得$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$=2sinθ-2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，則普通方程為：（x+1）²+（y-1）²=2，
則圓心坐標是（-1，1），
∴圓心的極坐標為$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$；（5分）
（2）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$代入（x+1）²+（y-1）²=2，得t=±1，
所以直線l與圓C的交點M（0，2）、N（-2，0），
則|MN|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$得，直線l的方程為x-y+2=0，
所以原點到直線l的距離為$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以△MON的面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2          （10分）

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，兩角差的正弦公式，兩點之間、點到直線的距離公式等，屬于中檔題．