Question

17．已知△ABC中，A（-2，0），B（2，0），AC，AB，BC成等差數(shù)列．
（1）求頂點C的軌跡方程；
（2）若AC，BC邊上的中線BF與AE的和為9，求△ABC重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義，可得頂點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長等于8的橢圓（長軸端點除外）．
（2）BG+AG=$\frac{2}{3}$（BF+AE）=6（定值）＞4，因此，G的軌跡為以A、B為焦點的橢圓，2a′=6，c′=2．

解答 解：（1）∵AC，AB，BC成等差數(shù)列，
∴|AC|+|BC|=2|AB|=8＞|AB|，
根據(jù)橢圓的定義，可得頂點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長等于8的橢圓（長軸端點除外）．
∵2a=8，2c=4，
∴a=4，c=2，可得b²=a²-c²=12．
因此，頂點C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x≠±4）．
（2）BG=$\frac{2}{3}$BF，AG=$\frac{2}{3}$AE
∴BG+AG=$\frac{2}{3}$（BF+AE）=6（定值）＞4
因此，G的軌跡為以A、B為焦點的橢圓，2a′=6，c′=2
∴a′=3，b′²=5，可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1
∵當G點在x軸上時，A、B、C三點共線，不能構(gòu)成△ABC
∴G的縱坐標不能是0，可得△ABC的重心G的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）

點評 本題給出AC，AB，BC成等差數(shù)列，求頂點C的軌跡方程；三角形兩條中線長度之和等于定值，求重心G的軌跡方程．著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標準方程和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．