Question

9．已知函數(shù)f（x）=|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+m²-7m（m∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性（只寫出結論，不需寫出過程）；
（2）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論m=0，m≠0時，函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由題意可得 2m≥-4，且2m≠0，由此求得實數(shù)m的取值范圍；
（3）命題等價于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞g_min（x₂） 成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三種情況，分別求出實數(shù)m的取值范圍再取并集，即得所求．

解答 解：（1）當m=0時，f（x）=|x|為偶函數(shù)；
當m≠0時，f（x）=|x-m|為非奇非偶函數(shù)．
（2）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有兩個不同的解，
需2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故實數(shù)m的取值范圍為[-2，0）∪（0，+∞）．
（3）由于對任意x₁∈（-∞，4]，都存在x₂∈[3，+∞），使f（x₁）＞g（x₂）成立，
故有f_min（x₁）＞g_min（x₂）成立．
又函數(shù)f（x）=|x-m|=$\left\{\begin{array}{l}{x-m，x≥m}\\{m-x，x＜m}\end{array}\right.$，
故f_min（x₁）=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≤4}\\{f（4）=m-4，m＞4}\end{array}\right.$．
又函數(shù)g（x）=x|x-m|+m²-7m=$\left\{\begin{array}{l}{x（m-x）+{m}^{2}-7m，x＜m}\\{x（x-m）+{m}^{2}-m，x≥m}\end{array}\right.$，
故g_min（x₂）=$\left\{\begin{array}{l}{g（3）={m}^{2}-10m+9，m＜3}\\{g（m）={m}^{2}-7m，m≥3}\end{array}\right.$．
當m＜3時，有0＞m²-10m+9，解得 1＜m＜3．
當 3≤m＜4，有0＞m²-7m，解得 3≤m＜4．
當4≤m，有m-4＞m²-7m，解得 4≤m＜4+2$\sqrt{3}$．
綜上可得，1＜m＜4+2$\sqrt{3}$，
故實數(shù)m的取值范圍為（1，4+2$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)的性質(zhì)，方程根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)最值及其幾何意義，屬于中檔題．