Question

1．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x≥y＞0，且$x=4\sqrt{y}+2\sqrt{x-y}$，則x的取值范圍是（4，20]．

Answer 1

分析 設(shè)$\sqrt{y}$=t則可知t＞0，重新整理等式，利用一元二次方程根的情況，要使方程有正數(shù)根，需要△≥0且f（0）＞0，解不等式組即可求得x的范圍

解答 解：設(shè)$\sqrt{y}$=t，t＞0，
則$\sqrt{x-y}$=$\sqrt{x-{t}^{2}}$，
∴x=4t+2$\sqrt{x-{t}^{2}}$，
整理得20t²-8xt+x²-4x=0，
要使方程有正數(shù)解需$\left\{\begin{array}{l}{△=64{x}^{2}-80（{x}^{2}-4x）≥0}\\{f（0）={x}^{2}-4x＞0}\end{array}\right.$，
求得4＜x≤20，
故答案為：（4，20]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)和方程思想的運(yùn)用．這道題需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化和化歸的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程的問(wèn)題，利用根的分布來(lái)解決x的范圍問(wèn)題．