Question

12．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A（11，5），B（4，12），對(duì)角線交點(diǎn)P在x軸上，求：
（1）直線AD的方程；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線CD的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知條件先求出AB的斜率，由AB⊥AD，得到AD的斜率，由此利用點(diǎn)斜式方程能求出直線AD的方程．
（2）設(shè)對(duì)角線AC∩BD于P（a，0），由P（a，0）為BD的中點(diǎn)知：D（2a-4，-12），由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AD}$=0，能求出P的坐標(biāo)與直線CD的方程．

解答 解：（1）∵矩形ABCD的頂點(diǎn)A（11，5），B（4，12），
∴${k}_{AB}=\frac{12-5}{4-11}$=-1，∵AB⊥AD，∴${k}_{AD}=-\frac{1}{{k}_{AB}}$=1，
∴直線AD的方程：y-5=x-11，整理，得：x-y-6=0．
（2）∵對(duì)角線交點(diǎn)P在x軸上，
∴設(shè)對(duì)角線AC∩BD于P（a，0），
由P（a，0）為BD的中點(diǎn)知：D（2a-4，-12），
$\overrightarrow{BA}$=（7，-7），$\overrightarrow{AD}$=（2a-15，-17），
∵ABCD為矩形，鄰邊垂直，內(nèi)積為零，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AD}$=7（2a-15）-7×（-17）=0，解得a=-1，
∴P（-1，0），D（-6，-12），
∵AB∥CD，∴k_CD=k_AB=-1，
∴CD所在直線：y+12=-（x+6），整理，得：x+y+18=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意直線垂直、直線平行、向量等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．