Question

4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$+1，a為常數(shù)，若f（x）為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R為偶函數(shù)，便可得到f（-1）=f（1），這樣即可得出a=1；
（2）求出$f（x）={2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1$，可以看出x增大時，f（x）增大，從而便知該函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，設任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，提取公因式${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$，證明f（x₁）＞f（x₂）即可．

解答 解：（1）f（x）為偶函數(shù)；
∴f（-1）=f（1）；
即$\frac{1}{2}+2a+1=2+\frac{a}{2}+1$；
∴a=1；
（2）f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1$；
x增大時2^x增大，而$\frac{1}{{2}^{x}}∈（0，1）$減小幅度很小，∴該函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
設x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-{2}^{{x}_{2}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0，1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差法比較f（x₁）與f（x₂），一般需提取公因式，從而可判斷f（x₁）-f（x₂）的符號．