Question

19．“搶紅包“的網(wǎng)絡(luò)游戲給2015年的春節(jié)增添了一份趣味．”掐女紅包“有多種玩法，小明參加一種接龍紅包游戲：小明在紅包里裝了9元現(xiàn)金，然后發(fā)給朋友A，并給出金額所在區(qū)間[1，9]，讓A猜（所猜金額為整數(shù)元；下同），如果A猜中，A將獲得紅包里的金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，同時(shí)給出金額所在區(qū)間[6，9]，讓B猜，如果B猜中，A和B可以評(píng)分紅包里的金額；如果B未猜中，B要將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)個(gè)朋友C，同時(shí)給出金額所在區(qū)間[8，9]，讓C猜，如果C猜中，A、B和C可以評(píng)分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的資金將退回小明的賬戶．
（Ⅰ）求A恰好得到3元的概率；
（Ⅱ）設(shè)A所獲得的金額為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，A所獲得的金額是否超過B和C兩人所獲得的金額之和？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)如果C猜中，A、B和C可以評(píng)分紅包里的金額，求A恰好得到3元的概率；
（Ⅱ）設(shè)A所獲得的金額為X元，X的可能取值為0，3，4.5，9，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求出B，C的期望，再從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，確定A所獲得的金額是否超過B和C兩人所獲得的金額之和．

解答 解：（Ⅰ）A恰好得到3元的概率P（M）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）X的可能取值為0，3，4.5，9，則
P（X=3）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，P（X=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$，P（X=9）=$\frac{1}{9}$，
X的分布列

X	0	3	4.5	9
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

E（X）=0×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{9}$=3；
（Ⅲ）設(shè)B獲得的金額為Y元，則Y的取值為0，3，4.5
P（Y=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{9}$，P（Y=3）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$
P（Y=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$，
Y的分布列

Y	0	3	4.5
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

E（Y）=0×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$=2，
設(shè)C獲得的金額為Z元，則Z的取值為0，3．
P（Z=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，P（Z=3）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
Z的分布列

Z	0	3
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

E（Z）=0×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{1}{3}$=1，
∴E（X）=E（Y）+E（Z），
∴從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，A所獲得的金額不超過B和C兩人所獲得的金額之和．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率知識(shí)的運(yùn)用，考查分布列與期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．