Question

14．已知在棱長(zhǎng)為6正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)．
（1）求二面角A-CD-B的余弦值；
（2）求點(diǎn)E到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （1）先作出二面角A-CD-B的平面角，再利用余弦定理求解即可；
（2）作AO⊥平面BCD，求出AO，即可求點(diǎn)E到平面BCD的距離．

解答 解：（1）取CD的中點(diǎn)F，連接AF，BF，
∵四面體ABCD是正四面體，
∴AF⊥CD，且BF⊥CD，
∴∠AFB即為二面角A-CD-B的平面角，
又∵四面體ABCD的棱長(zhǎng)為6，
則AF=BF=3$\sqrt{3}$，
則cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}$=$\frac{1}{3}$；
（2）作AO⊥平面BCD，則OF=$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E到平面BCD的距離$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角，考查余弦定理，考查點(diǎn)E到平面BCD的距離，正確作出二面角的平面角是關(guān)鍵．