Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx+2x-6
（1）證明：函數(shù)f（x）有且只有-個零點(diǎn)；
（2）求該零點(diǎn)所在的-個區(qū)間，使這個區(qū)間的長度不超過$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 1）先判斷函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，再由零點(diǎn)判定定理判斷即可．
（2）由（1）知，該零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）上，從而利用二分法確定區(qū)間．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（1）=0+2-6＜0，f（3）=ln3＞0；
∴函數(shù)f（x）有且只有-個零點(diǎn)；
（2）由（1）知，該零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）上，
f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0；
故該零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故該零點(diǎn)在區(qū)間（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-0.5＞0，
故該零點(diǎn)在區(qū)間（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$）上．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)的判斷與二分法的應(yīng)用．