Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$（x＞0）．
（1）試確定f（x）的單調區(qū)間，并證明你的結論；
（2）若0＜x≤1時，不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，再由導函數(shù)在各區(qū)間段內的符號得答案；
（2）由（1）可得當0＜x≤1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求出f（x）在0＜x≤1時的最大值，把不等式f（x）≤m（m-2）恒成立轉化為關于m的不等式得答案．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{9x}{{x}^{2}+x+1}$，得f′（x）=$\frac{9（{x}^{2}+x+1）-9x（2x+1）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}=\frac{9（1-x）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$，
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，1）；單調減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由（1）知，當0＜x≤1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴當0＜x≤1時，$f（x）_{max}=f（1）=\frac{9}{3}=3$，
∴要使不等式f（x）≤m（m-2）恒成立，則m（m-2）≥3，即m²-2m-3≥0，
解得：m≤-1或m≥3．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了恒成立問題的解法，是中檔題．