Question

8．設(shè)直線l₁與曲線y=$\sqrt{x}$相切于P，直線l₂過P且垂直于l₁，若l₂交x軸于Q點(diǎn)，又作PK垂直于x軸于K，求KQ的長．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，$\sqrt{m}$），求導(dǎo)數(shù)可得直線l₁的斜率k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，由垂直關(guān)系可得直線l₂的斜率為-2$\sqrt{m}$，分別可得直線的方程，可得Q和K的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得．

解答 解：設(shè)P（m，$\sqrt{m}$），y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴直線l₁的斜率k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，直線l₂的斜率為-2$\sqrt{m}$，
∴直線l₁的方程為y=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$（x-m）+$\sqrt{m}$，
直線l₂的方程為y=-2$\sqrt{m}$（x-m）+$\sqrt{m}$，
把y=0代入l₂的方程可得x=$\frac{1}{2}$+m，
∴Q的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$+m，0），則K（m，0），
∴KQ=$\sqrt{（\frac{1}{2}+m-m）^{2}+{0}^{2}}$=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及切線的斜率和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬中檔題．