Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$在（$\frac{1}{4}$，1）上有意義，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得mx²+8x+2＞0在（$\frac{1}{4}$，1）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的值域求法，結(jié)合恒成立思想，即可得到所求最小值．

解答 解：由函數(shù)f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$，可得
$\frac{m{x}^{2}+8x+2}{{x}^{2}+1}$＞0即為mx²+8x+2＞0，
在（$\frac{1}{4}$，1）上恒成立，
即有-m≤$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{x}$，
令g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{x}$，$\frac{1}{4}$＜x＜1，
由g（x）=2（$\frac{1}{x}$+2）²-8，
即有g(shù)（x）∈（g（1），g（$\frac{1}{4}$）），
即為g（x）的值域?yàn)椋?0，64）．
則有-m≤10，即m≥-10．
故有整數(shù)m的最小值為-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．