Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1（x∈R），當(dāng)x∈[0，$\frac{x}{2}$]時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-k有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為1≤k＜$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三角恒變換化簡(jiǎn)f（x）═sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；從而可知函數(shù)f（x）與函數(shù)y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)圖象求解．

解答 解：f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，要使函數(shù)y=f（x）-k有兩個(gè)零點(diǎn)，
只需使函數(shù)f（x）與函數(shù)y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，
1≤k＜$\sqrt{2}$；
故答案為：1≤k＜$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用及學(xué)生作圖與用圖的能力，屬于基礎(chǔ)題．