Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤1}\\{x+\frac{6}{x}-6，x＞1}\end{array}\right.$，則f（f（-2））=$-\frac{1}{2}$，f（x）的最小值是2$\sqrt{6}$-6．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)的特點易得f（f（-2））=的值；分別由二次函數(shù)和基本不等式可得各段的最小值，比較可得．

解答 解：由題意可得f（-2）=（-2）²=4，
∴f（f（-2））=f（4）=4+$\frac{6}{4}$-6=-$\frac{1}{2}$；
∵當(dāng)x≤1時，f（x）=x²，
由二次函數(shù)可知當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值0；
當(dāng)x＞1時，f（x）=x+$\frac{6}{x}$-6，
由基本不等式可得f（x）=x+$\frac{6}{x}$-6≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$-6=2$\sqrt{6}$-6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{6}{x}$即x=$\sqrt{6}$時取到等號，即此時函數(shù)取最小值2$\sqrt{6}$-6；
∵2$\sqrt{6}$-6＜0，∴f（x）的最小值為2$\sqrt{6}$-6
故答案為：-$\frac{1}{2}$；2$\sqrt{6}$-6

點評 本題考查函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，屬中檔題．