Question

2．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．給出以下命題：
①若x+y=1，則點(diǎn)C的軌跡為直線(xiàn)；
②若|x|+|y|=1，則點(diǎn)C的軌跡為矩形；
③若xy=1，則點(diǎn)C的軌跡為拋物線(xiàn)；
④若$\frac{x}{y}$=1，則點(diǎn)C的軌跡為直線(xiàn)；
⑤若x²+y²+xy=1，則點(diǎn)C的軌跡為圓．
以上命題正確的為①②⑤（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 由題意可設(shè)A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），由條件可得x，y的關(guān)系，由x'，y'表示，對(duì)于①，容易判斷軌跡為直線(xiàn)；對(duì)于②，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，可得軌跡為正方形；對(duì)于③，易得軌跡為雙曲線(xiàn)；對(duì)于④，注意y不為0；對(duì)于⑤，化簡(jiǎn)整理，即可得到軌跡為圓．

解答 解：由題意可設(shè)A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），
$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．則x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），y'=$\frac{1}{2}$（x-y），
即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'，y═$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'，
對(duì)于①，若x+y=1，則有$\sqrt{3}$x'=1，即x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則點(diǎn)C的軌跡為直線(xiàn)，則①正確；
對(duì)于②，若|x|+|y|=1，即有|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'|+|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'|=1，則圖形關(guān)于x'，y'軸對(duì)稱(chēng)，
坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即有C的軌跡為矩形，則②正確；
對(duì)于③，若xy=1，則$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，C的軌跡為雙曲線(xiàn)，則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若$\frac{x}{y}$=1，則y'=0且$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'≠0，則C的軌跡為兩條射線(xiàn)，則④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，若x²+y²+xy=1，則$\frac{2}{3}$x'²+2y'²+$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，即為x'²+y'²=1，
則C的軌跡為圓，則有⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，注意化簡(jiǎn)整理，結(jié)合等價(jià)變形，屬于中檔題和易錯(cuò)題．