Question

13．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE．
（1）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；
（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$，求$\frac{DC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 解法1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，確定直角．
（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以$\overrightarrow{BP}$=（-λ，-1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量．根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案．

解答 解法1）（1）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如圖1，

在面BPC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，
設(shè)PD=DC=1，BC=λ，有BD=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=$\frac{π}{3}$，
則 tan$\frac{π}{3}$=tan∠DPF=$\frac{DB}{PD}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$=$\sqrt{3}$，解得$λ=\sqrt{2}$．
所以$\frac{DC}{CB}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$時(shí)，$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（解法2）
（1）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=DC=1，BC=λ，
則D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（λ1，-1），點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
于是$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{DE}$=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{PC}$=0，則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以$\overrightarrow{BP}$=（-λ，-1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量．
若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$，
則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{{λ}^{2}+2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\sqrt{2}$．所以所以$\frac{DC}{CB}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$時(shí)，$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間直線平面的垂直問(wèn)題，直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化，空間角的求解，屬于難題．