Question

16．已知函數(shù)f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|，g（x）=f（x）-kx，求：討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 去絕對值得到g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}-kx}&{x＜0，或x≥1}\\{\frac{1}{x}-kx-1}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，從而可對每段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：x＜0，或x≥1時(shí)，g′（x）=$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$，0＜x＜1時(shí)，g′（x）=$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$，這時(shí)候可討論k的值，從而可判斷導(dǎo)函數(shù)g′（x）的符號(hào)，從而判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，找到g（x）在每種k的取值下的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：g（x）=$|1-\frac{1}{x}|-kx$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}-kx}&{x＜0，或x≥1}\\{\frac{1}{x}-kx-1}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$；
x＜0，或x≥1時(shí)，g′（x）=$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$；0＜x＜1時(shí)，g′（x）=$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$；
∴①k＞0時(shí)，$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
②$0＜\frac{1}{k}≤1$，即k≥1時(shí)，x$＜-\sqrt{\frac{1}{k}}$或x≥1時(shí)，g′（x）＜0，$-\sqrt{\frac{1}{k}}＜x＜0$時(shí)，g′（x）＞0；
即g（x）在（-∞，$-\sqrt{\frac{1}{k}}$），[1，+∞）上單調(diào)遞減，在$[-\sqrt{\frac{1}{k}}，0）$上單調(diào)遞增；
③$\frac{1}{k}＞1$，即0＜k＜1時(shí)，$1≤x＜\sqrt{\frac{1}{k}}$或$-\sqrt{\frac{1}{k}}＜x＜0$時(shí)，g′（x）＞0，$x＜-\sqrt{\frac{1}{k}}$或x$＞\sqrt{\frac{1}{k}}$時(shí)，g′（x）＜0；
即g（x）在$（-∞，-\sqrt{\frac{1}{k}}）$，（$\sqrt{\frac{1}{k}}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（$-\sqrt{\frac{1}{k}}$，0），[1，$\sqrt{\frac{1}{k}}$）上單調(diào)遞增；
（2）k=0時(shí)，$\frac{1}{{x}^{2}}＞0，-\frac{1}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（-∞，0），[1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）①k＜0時(shí)，$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}＞0$；
∴g（x）在（-∞，0），[1，+∞）上單調(diào)遞增；
②$0＜-\frac{1}{k}＜1$，即k＜-1時(shí)，$0＜x＜\sqrt{-\frac{1}{k}}$時(shí)，g′（x）＜0，$\sqrt{-\frac{1}{k}}＜$x＜1時(shí)，g′（x）＞0；
即g（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{k}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{-\frac{1}{k}}$，1）上單調(diào)遞增；
③$-\frac{1}{k}≥1$，即-1≤k＜0時(shí)，0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0；
即g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號(hào)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，注意對k的討論不重不漏，熟悉一元二次不等式的解法．