Question

13．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作一條漸近線l的平行線交雙曲線C于A，若以A為圓心，2a為半徑的圓與l相切，則雙曲線C的離心率e的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的右焦點(diǎn)和漸近線方程，可得與漸近線平行的直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得A的坐標(biāo)，再由直線和圓相切的條件，計(jì)算可得b=2a，再由離心率公式計(jì)算，即可所求．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），
漸近線l的方程為y=$\frac{a}$x，
一條漸近線l的平行線為y=$\frac{a}$（x-c），
代入雙曲線的方程，可得A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
由直線和圓相切的條件可得，
$\frac{|\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2c}-\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2c}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2a，
化簡可得，b=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，直線和圓相切的條件，考查離心率的求法，屬于中檔題．