Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x²-2ax+2）e^x．
（1）函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為2x+y+b=0，求a、b的值；
（2）當a＞0時，若曲線y=f（x）上總存在三個點，使得曲線在這三點的切線斜率均為k，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得a，b的方程，解得即可；
（2）由題意可得f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]=k總有三個不相等的實根．令g（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，求出導數(shù)，求得極值，令k介于極小值和極大值之間，再由恒成立思想，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-2ax+2）e^x的導數(shù)為f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，
即函數(shù)f（x）在x=0處的切線的斜率為k=2-2a，
由于在x=0處的切線方程為2x+y+b=0，
則2-2a=-2，2+b=0，
解得a=2，b=-2；
（2）若曲線y=f（x）上總存在三個點，使得曲線在這三點的切線斜率均為k，
則f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]=k總有三個不相等的實根．
令g（x）=e^x[x²+（2-2a）x+2-2a]，g′（x）=e^x[x²+（4-2a）x+4-4a]，
令g′（x）=0，解得x=-2或-2+2a，（a＞1），
由于x=-2處g′（x）左正右負，x=-2+2a處g′（x）左負右正，
即有g（-2）取得極大值，且為e^-2（2+2a），
g（2a-2）取得極小值，且為e^2a-2（2-2a）．
則有a＞0時，e^2a-2（2-2a）＜k＜e^-2（2+2a）恒成立．
令t=2a-2（t＞-2），h（t）=-te^t，h′（t）=-e^t（t+1），
在t＞-1，h′（t）＜0，h（t）遞減；在-2＜t＜-1，h′（t）＞0，h（t）遞增．
即有h（t）在t=-1處取得極大值，也為最大值，且為h（-1）=e^-1．
又當a＞0時，e^-2（2+2a）＞2e^-2．
即有2e^-2＜k＜e^-1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)方程的轉化思想，屬于中檔題．