Question

3．設(shè)a_n=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…，S₂₀₁₄中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 806
• B． 1007
• C． 1612
• D． 2014

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)的周期，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得前4項(xiàng)為正，第5項(xiàng)為0，由誘導(dǎo)公式可得第6至9項(xiàng)為負(fù)，第10項(xiàng)為0，再由f（n）=$\frac{1}{n}$單調(diào)遞減可得數(shù)列的S₁，S₂，…，S₁₀都為正，同理可得S₁，S₂，…，S₂₀₁₄均為正．

解答 解：由于a_n=$\frac{1}{n}$sin$\frac{nπ}{5}$的周期T=10，
由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a₁，a₂，…，a₄＞0，a₅=0，a₆，a₇，…，a₉＜0，a₁₀=0，
且sin$\frac{6π}{5}$=-sin$\frac{π}{5}$，sin$\frac{7π}{5}$=-sin$\frac{2π}{5}$，…，
而f（n）=$\frac{1}{n}$單調(diào)遞減，
a₆…a₉都為負(fù)數(shù)，但是|a₆|＜a₁，|a₇|＜a₂，…，|a₉|＜a₄，
∴S₁，S₂，…，S₅中都為正，而S₆，S₇，…，S₁₀都為正，
同理S₁₁，S₁₂，…，S₂₀都為正，
S₁，S₂，…，S₂₀₁₄都為正，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．