Question

5．已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，拋物線y²=4x的焦點F是橢圓M的一個焦點，且橢圓M的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線y=x+m與橢圓M交于A，B兩點，且橢圓M上存在點P，滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓M的一個焦點F（1，0），e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出橢圓M的方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用韋達定理、向量、橢圓性質能求出m的值．

解答 解：（1）∵橢圓M的對稱軸為坐標軸，拋物線y²=4x的焦點F是橢圓M的一個焦點，且橢圓M的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴橢圓M的一個焦點F（1，0），
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=（4m）²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0，
解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂），
∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}m$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2}{3}m$，
∴P（-$\frac{4}{3}m，\frac{2}{3}m$）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1上，
∴（-$\frac{4}{3}m$）²+2（$\frac{2}{3}m$）²=2，
解得m=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、向量知識、直線方程、拋物線等知識點的合理運用．