Question

7．已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x，（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
（2），求導(dǎo)函數(shù)，判斷出f′（x）的值有正有負(fù)，故函數(shù)f（x）的不是R上的單調(diào)函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=（-x²+2x）e^x，
∴f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，
∴-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
（2）∵f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，
記g（x）=-x²+（a-2）x+a，
∴△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
∴x∈R時，g（x）的值有正有負(fù)，
而x∈R時，e^x＞0恒成立，
于是x∈R時，f′（x）的值有正有負(fù)，
故函數(shù)f（x）的不是R上的單調(diào)函數(shù)．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題