Question

9．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow$²，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow$²展開得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$關于${\overrightarrow{a}}^{2}$的表達式，再代入夾角公式計算即可．

解答 解：∵2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=9${\overrightarrow}^{2}$，即${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$\overrightarrow$²，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{5}{18}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{12}$．
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，夾角計算，屬于中檔題．