Question

1．給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx＜0”；
②若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=log₂（1-3^x）的值域?yàn)椋?∞，0）
④對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0
⑤若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
其中的真命題是②③④⑤．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 寫出命題的否定判斷①；由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)判斷②；求出復(fù)合函數(shù)的值域判斷③；由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系判斷④；由已知等式求得f（x+8）=f（x），再由周期概念判斷⑤．

解答 解：①、命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①錯(cuò)誤；
②、若y=f（x）是奇函數(shù)，則y=|f（x）|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故②正確；
③、∵3^x＞0，∴1-3^x＜1，則函數(shù)f（x）=log₂（1-3^x）的值域?yàn)椋?∞，0），故③正確；
④、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），可知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，則當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，有f′（x）＜0，故④正確；
⑤、若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x）•f（x+4）=1，則f（x+4）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+8）=$\frac{1}{f（x+4）}=\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}=f（x）$，8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，故⑤正確．
∴其中的真命題是②③④⑤．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查全稱命題的否定，是中檔題．