Question

7．等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，C與拋物線x²=16y的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4$\sqrt{2}$，則C的方程為y²-x²=8．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用|AB|=4$\sqrt{2}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)等軸雙曲線C的方程為y²-x²=λ（λ＞0）（1）
∵拋物線x²=16y，2p=16，p=8，
∴$\frac{p}{2}$=4．
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-4．
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線y=-4的兩個(gè)交點(diǎn)A（x，-4），B（-x，-4）（x＞0），
則|AB|=|x-（-x）|=2x=4$\sqrt{2}$，
∴x=2$\sqrt{2}$．
將y=-4，x=2$\sqrt{2}$代入（1），得（-4）²-（2$\sqrt{2}$）²=λ，
∴λ=8，
∴等軸雙曲線C的方程為y²-x²=8，
故答案為：y²-x²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．