Question

3．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x和l₂：y=-2x的距離之和是4，求$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x的距離為m，到直線l₂：y=-2x的距離為n，則m+n=4，利用基本不等式，即可得到$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值．

解答 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x的距離為m，到直線l₂：y=-2x的距離為n，則m+n=4，
∵m²+n²≥2mn，
∴2（m²+n²）≥（m+n）²=16，
∴m²+n²≥8
∵直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x和l₂：y=-2x垂直且過原點(diǎn)，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．