Question

10．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3，x∈[0，3）；
（3）y=-x²+2x+3，x∈（1，3）；
（4）y=-x²+2x+3，x∈（-3，$\frac{1}{2}$]；
（5）y=-x²+2x+3，x∈（-2，+∞）．

Answer 1

分析 對該函數(shù)配方便得到y(tǒng)=-（x-1）²+4，然后可結(jié)合該函數(shù)的圖象，根據(jù)取得頂點情況，端點的值的比較，以及根據(jù)該二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出該二次函數(shù)在不同定義域上的值域．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4；
∴該函數(shù)的值域為：（-∞，4]；
（2）設(shè)y=f（x）=-（x-1）²+4；
∴f（3）＜f（x）≤f（1）；
∴0＜f（x）≤4；
∴該函數(shù)的值域為（0，4]；
（3）設(shè)y=f（x），該函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減；
∴f（3）＜f（x）＜f（1）；
∴0＜f（x）＜4；
∴該函數(shù)的值域為：（0，4）；
（4）設(shè)y=f（x），該函數(shù)在$（-3，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞增；
∴$f（-3）＜f（x）≤f（\frac{1}{2}）$；
∴$-12＜f（x）≤\frac{15}{4}$；
∴該函數(shù)的值域為：$（-12，\frac{15}{4}]$；
（5）x=1時，該函數(shù)取最大值4，x＞1時該函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值趨向負無窮；
∴該函數(shù)的值域為（-∞，4]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，配方法求二次函數(shù)的值域，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點情況及端點值的比較從而求出該二次函數(shù)值域的方法，可結(jié)合該二次函數(shù)的圖象．