Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線(xiàn)l的方程為ρcosθ+ρsinθ-1=0
（I）判斷點(diǎn)M與直線(xiàn)l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y=x²相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （I）由直線(xiàn)l的方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化為直角坐標(biāo)方程：x+y-1=0，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線(xiàn)l的方程即可判斷出位置關(guān)系．
（II）可設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線(xiàn)方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}t$-2=0，利用點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）由直線(xiàn)l的方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化為直角坐標(biāo)方程：x+y-1=0，
∵-1+2-1=0，
∴點(diǎn)M在直線(xiàn)l上；
（II）可設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入拋物線(xiàn)方程可得：${t}^{2}+\sqrt{2}t$-2=0，則t₁t₂=-2．
∴點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積=|t₁t₂|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角方程、直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．