Question

6．在棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，若已知PA=3，PB=4，PC=5則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為50π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖
則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴球直徑為5$\sqrt{2}$，半徑R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的表面積是4πR²=4π×（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=50π
故答案為：50π

點評 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎題．