Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），且3a₁，4a₂，a₃+13成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（2n+1）log₄a_2n，求數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），可得a₂=λ+2，a₃=λ²+4λ+4．又3a₁，4a₂，a₃+13成等差數(shù)列，可得2×4a₂=3a₁+a₃+13，代入解出λ，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=（2n+1）log₄a_2n=（2n-1）（2n+1），可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），
∴a₂=（λ+1）a₁+1=λ+2，a₃=（λ+1）（a₁+a₂）+1=（λ+1）（λ+3）+1=λ²+4λ+4．
又∵3a₁，4a₂，a₃+13成等差數(shù)列，
∴2×4a₂=3a₁+a₃+13，
∴8（λ+2）=3+λ²+4λ+4+13，化為λ²-4λ+4=0，解得λ=2．
∴a_n+1=3S_n+1，
當n≥2時，a_n=3S_n+1，∴a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n．
又$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{1}$=4．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為4，首項為1，
∴a_n=4^n-1．
（2）b_n=（2n+1）log₄a_2n=（2n+1）$lo{g}_{4}{4}^{2n-1}$=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．