Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n為奇數(shù)\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n為偶數(shù)\end{array}$，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）由于數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$，可得a₁+a₂=a₂+$\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{3}{2}×2$-2，解得a₁．當(dāng)n≥2時，S_n-1=a_n-1+$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2，可得：a_n=a_n-a_n-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}$n-2-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2]，化簡整理即可得出．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n為奇數(shù)\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n為偶數(shù)\end{array}$，可得b_2n-1=$\frac{1}{（{a}_{2n-1}-1）（{a}_{2n-1}+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．b_2n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=a_n+$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2（n∈{N^*}）$，∴a₁+a₂=a₂+$\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{3}{2}×2$-2，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=a_n-1+$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2，可得：a_n=a_n-a_n-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}$n-2-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$-2]，
解得a_n-1=n+1．
∴a_n=n+2，當(dāng)n=1時也成立．
∴a_n=n+2．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}，n為奇數(shù)\\ 4（\frac{1}{2}{）^{a_n}}，n為偶數(shù)\end{array}$，∴b_2n-1=$\frac{1}{（{a}_{2n-1}-1）（{a}_{2n-1}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
b_2n=$4×（\frac{1}{2}）^{2n+2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n+6}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系、“裂項求和”，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．