Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，且當(dāng)n≥2時，滿足2a_n=S_n+n．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=n（a_n+1）（n∈N₊），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式直接利用賦值法求出數(shù)列的各項的值．
（2）利用構(gòu)造新數(shù)列的方法求出數(shù)列的通項公式．
（3）根據(jù)新數(shù)列的特點(diǎn)，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，
且當(dāng)n≥2時，滿足2a_n=S_n+n，
則：當(dāng)n=2時，2a₂=S₂+2
解得：a₂=4，
當(dāng)n=3時，2a₃=S₃+3，
解得：a₃=9．
（2）由于：2a_n=S_n+n①，
則：2a_n-1=S_n-1+n-1②
所以①-②得：2（a_n-a_n-1）=S_n-S_n-1+1，
所以：a_n=2a_n-1+1，
整理得：a_n+1=2（a_n-1+1），
則：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2（常數(shù)）$
所以：數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
即：${a}_{n}+1={（a}_{1}+1）•{2}^{n-1}$，
所以：${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$．
（3）由于${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$，
所以：b_n=n（a_n+1）=3n•2^n-1，
設(shè)數(shù)列c_n=n•2^n-1，前n項和為S_n，
則：S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1③
$2{S}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}$+…+n•2ⁿ④
③-④得：-${S}_{n}=1+{2}^{1}+{2}^{2}$+…+2^n-1-n•2ⁿ
整理得：${S}_{n}=n•{2}^{n}-{2}^{n}-1$=（n-1）•2ⁿ-1
所以：${T}_{n}=3{S}_{n}=（3n-3）{2}^{n}-3$

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項的值，利用構(gòu)造新數(shù)列法求出數(shù)列的通項公式，利用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力和運(yùn)算能力．