Question

7．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，前n項(xiàng)的倒數(shù)之和為T_n，則$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=a₁a_n．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_na₁，變形為                                                                            $\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{{a}_{2}}{\frac{1}{{a}_{n-1}}}=\frac{{a}_{3}}{\frac{1}{{a}_{n-2}}}=…\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$，然后利用合比定理得答案．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_na₁，
∴$\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{{a}_{2}}{\frac{1}{{a}_{n-1}}}=\frac{{a}_{3}}{\frac{1}{{a}_{n-2}}}=…\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$．
故答案為：a₁a_n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，合比定理的應(yīng)用是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．