Question

9．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，點(diǎn)D是線段PB的中點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC．
（1）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得DE∥平面PAC？若存在，指出點(diǎn)E的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求證：PA⊥BC．

Answer 1

分析 （1）取線段AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，證明DE∥PA即可．
（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BC⊥平面PAC即可．

解答 證明：（1）在線段AB上存在點(diǎn)E，使得DE∥平面PAC，則E是線段AB的中點(diǎn)．
下面證明DE∥平面PAC，
取線段AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，
∵D是PB的中點(diǎn)，
∴DE是△PAB的中位線，
∴DE∥PA，
∵PA?平面PAC，DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC．…（6分）
（2）證明：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²．
∴AC⊥BC．…（10分）
∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．…（12分）
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．