Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求a的值
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理，由恒成立思想可得a=0；
（2）由題意可得，x∈[0，+∞）時(shí)，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立，再分①當(dāng)0≤x≤a時(shí)、②當(dāng)x≥a+1、③當(dāng)a＜x＜a+1時(shí)三種情況，分別求得a的范圍，再取交集，即為所求．

解答 解：（1）由函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)可知，
對(duì)任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）²-2|-x-a|=x²-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|對(duì)任何x恒成立，
平方得：4ax=0對(duì)任何x恒成立，
而x不恒為0，則a=0；  
（2）將不等式f（x-1）≤2f（x），
化為（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1（*）對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
①當(dāng)0≤x≤a 時(shí)，將不等式（*）可化為 x²+4x+1-2a≥0，
對(duì)0≤x≤a上恒成立，則g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]為單調(diào)遞增，
只需g（x）_min=g（0）=1-2a≥0，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；                   
②當(dāng) a＜x≤a+1時(shí)，將不等式（*）可化為x²-4x+1+6a≥0，
對(duì)a＜x≤a+1上恒成立，由①可知0＜a≤$\frac{1}{2}$，
則h（x）=x²-4x+1+6a 在（a，a+1]為單調(diào)遞減，
只需h（x）_min=h（a+1）=a²+4a-2≥0 得：a≤-$\sqrt{6}$-2或a≥$\sqrt{6}$-2，
即$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$；
③當(dāng) x＞a+1時(shí)，將不等式（*）可化為x²+2a-3≥0對(duì)x＞a+1恒成立
則t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞） 為單調(diào)遞增，
由②可知$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$都滿足要求．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題