Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，若a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對于正整數(shù)k，m，l（k＜m＜l），若 m=k+1且l=k+3，求證：5a_k，a_m，a_l可以按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂$\frac{a_n^2}{2}$，若數(shù)列${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$的前n項和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)先求出a₃，由等比數(shù)列的通項公式、前n項和的定義求出公比q，代入等比數(shù)列的通項公式化簡即可；
（2）依題意5a_k，a_m，a_l這三項即為5a_k，2a_k，8a_k，進而可得結(jié)論；
（3）通過由（1）可知b_n2n-1，裂項可知${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項相加可得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，進而可得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
依題意，a₃=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{5}}$=$\sqrt{64}$=8，
又∵S₅-S₃=48，
∴a₄+a₅=8q+8q²=48，
解得：q=2或q=-3（舍），
∴a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=2ⁿ；
（2）證明：依題意5a_k，a_m，a_l這三項為5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k，
調(diào)整順序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差數(shù)列；
（3）解：由（1）可知b_n=log₂$\frac{a_n^2}{2}$=2n-1，
∴${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
顯然T_n隨著n的增大而增大，且$\underset{lim}{n→∞}$T_n=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$，
∴T_n的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計算化簡、變形能力與邏輯推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．