Question

【題目】設(shè)，向量，，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于，兩點(diǎn)（在，之間）.設(shè)，直線的傾斜角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)，，點(diǎn)，由題意結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合橢圓定義即可得解；

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理可得，，再結(jié)合即可得，求得的取值范圍后即可得解.

（1）設(shè)，，點(diǎn)，則，

則，，

所以，

所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓，

所以該橢圓短半軸，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，，易得，，

此時(shí)，，；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，由可得，

代入，可得，，

設(shè)，橫坐標(biāo)分別為，，則，，

又，所以，

所以，，

所以，

化簡(jiǎn)得，

所以，解得或，

又在，之間，所以；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.